courbe de gauss

CRAS Paris 256 (1963) 1652-1655. Elle se base sur les calculs de l’espérance et de l’écart-type de la série. Historiquement, avec de Moivre (1728) et Laplace (1786), c’est... La courbe en cloche ou courbe de Gauss est l’une des courbes mathématiques les plus célèbres. Par exemple, $1024$ est égal à $2^{10}$ et n’est divisible que par le nombre premier $2$ et on a donc $P(1024)=1$. Ce survol permet néanmoins de rendre compte d’un passage du Discours préliminaire à la Théorie analytique de la chaleur, de Fourier, (1822), dont j’ai souvent cité la première phrase, mais dont la dernière, comme me l’a fait remarquer le géologue américain T. Narasimhan, concerne évidemment la fonction de Gauss. Par exemple, la courbe de Gauss permet de calculer la probabilité pour qu’une note, choisie au hasard dans un ensemble de notes, appartienne à un intervalle donné. On la voit apparaître dans un grand nombre de situations concrètes — en statistiques et en probabilités — et on lui fait souvent dire tout et n’importe quoi. Ceci est la version « piste verte » de cet article de la « piste noire ». Cela signifie par exemple que si on prend un nombre très grand, disons de l’ordre de $1 000 000 000$, il faut s’attendre à ce qu’il soit divisible par 3 nombres premiers. B.Bru, La courbe de Gauss ou le théorème de Bernoulli raconté aux enfants. Ce théorème est essentiel dans la théorie des erreurs et c’est d’ailleurs ce qui intéressait Gauss au premier chef. Je trouve formidablement pédagogique votre idée de traiter un même article en suivant trois couleurs de pistes différentes ! On voit, par exemple, qu’une même expression, dont les géomètres avaient considéré les propriétés abstraites, et qui sous ce rapport appartient à l’analyse générale, représente aussi le mouvement de la lumière dans l’atmosphère, qu’elle détermine les lois de la diffusion de la chaleur dans la matière solide, et qu’elle entre dans toutes les questions principales de la théorie des probabilités.". Puis on recense pour chacun le nombre $P$, ce qui donne un diagramme en cloche centré sur la moitié du nombre de signaux émis. Laplace, Théorie analytique des probabilités, introduction (aussi, Essai philosophique sur les probabilités). | s’inscrire Y Katznelson et S Mandelbrojt, Quelques classes de fonctions entières et le problème de Gelfand et Šilov. Si l’on chauffe un point de la droite pendant un petit instant et qu’on laisse ensuite la chaleur diffuser un certain temps [2], la température se distribue exactement sur une cloche qui s’aplatit de plus en plus alors que le temps avance. La courbe de Gauss est connue aussi sous le nom de « courbe en cloche » ou encore de « courbe de la loi normale ». Qu’y a-t-il de moins aléatoire que les nombres entiers $1,2,3,4, ...$ ? Ici, il s’agit de modéliser une particule erratique qui se déplace sur une droite de manière aléatoire. On a déjà vu (loi des 20/80) que 20 % d'une population donnée est susceptible de causer 80 % des ennuis. Elle permet de représenter graphiquement la distribution d’une série et en particulier la densité de mesures d’une série. — «La courbe verte en cloche» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019. Espace Mendès-France Poitiers - 20 mars 2013 - Brigitte Chaput Détaillons : pour une expérience aléatoire, on s'intéresse à la réalisation ou non d'un de ses résultats. Pour participer à Cliquez pour découvrir un article au hasard parmi tous les articles publiés . Ensuite, avec la piste verte, je découvre un support facilement accessible et illustré de façon simple pour permettre à des élèves de 1ère Littéraire de comprendre un peu la notion de Gaussienne et de plage de normalité. Gaussian Distribution La courbe de Gauss permet de représenter visuellement la distribution d’une série et en particulier la densité de mesures d’une série. (Toulouse, 5-10/10), Le dernier théorème de Fermat (Paris, 16/7), Ressources pédagogiques : « pour aller moins loin », Bibliothèques et périodiques mathématiques. On pourra consulter un excellent article de Bernard Bru, très agréable à lire, qui donne en particulier tous les éclaircissements souhaitables sur le qualificatif « gaussien » attribué à la courbe en cloche. A Paris, la situation semble différente... Dans le cas de Paris, on est à $2,39$ écarts types de la valeur moyenne. La courbe (1) définit la « loi de Gauss normalisée » ou « loi normale » et (2) la « loi de Gauss » de moyenne m et d’écart-type . Nous l’avons déjà dit : se trouver à plus de deux écarts types de la moyenne est un événement qui se produit $5$ fois sur $100$. Si je mesure la longueur d’une table un grand nombre de fois avec mon décimètre, la répartition des résultats aura tendance à se faire sur une cloche de Gauss, et 95% des résultats seront dans un intervalle de deux écarts types autour de la moyenne. Comment rendre un dashboard plus efficace ? W.Feller, An introduction to probability Theory and its applications (1ère édition 1950 ; 3ème édition 1967, Wiley). Merci Des courbes de Gauss de formes variées, par exemple une d’écart-type ½ et une autre d’écart-type 2 avec des origines différentes (éventuellement des boas ou des cloches ou des chapeaux de gendarme de formes variées) Voilà, nous savons tout sur la courbe de Gauss. Courbe de Gauss . La voici : Les spécialistes de la théorie des probabilités l’interprètent comme une densité de probabilité. La courbe en cloche ou courbe de Gauss est l’une des courbes mathématiques les plus célèbres. L’histoire est inventée car on ne sait pas si un tribunal prendrait en compte ce genre de considérations ! On s’adresse à un public assez instruit et de bonne volonté en demandant à chacun, suivant un signal régulier (à peu près un signal toutes les secondes), d’écrire $P$ ou $F$ comme s’il jouait à pile ou face. Rappelons d’abord qu’un nombre entier est premier s’il n’est divisible que par lui-même et par $1$. Un théorème fondamental de la théorie des probabilités — le théorème central limite — permet de comprendre pourquoi dans de nombreuses situations concrètes, le diagramme décrivant la distribution d’un phénomène aléatoire extrêmement général est une courbe en cloche. Comment mieux cerner les moments de vérité ? Par exemple, dans sa position finale, on a $n=32$ et on discute donc d’un lancer de $32$ pièces ; les bâtons verticaux représentent les probabilités d’avoir $0, 1, 2, ..., 32$ fois pile. Elle se base sur les calculs de l’espérance et de l’écart-type de la série. ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Comment mesurer les émotions sur les réseaux sociaux ? Non seulement cette étude, en offrant aux recherches un but déterminé, a l’avantage d’exclure les questions vagues et les calculs sans issue ; elle est encore un moyen de former l’analyse elle-même, et d’en découvrir les éléments qu’il nous importe le plus de connaître, et que cette science doit toujours conserver, ces éléments fondamentaux sont ceux qui se reproduisent dans tous les effets naturels. Il suffit ensuite de créer le graphique qui matérialise la loi normale. C’est sûr, maintenant je regarderai mon boulanger d’un oeil neuf ;-). | mot de passe oublié ? Les expériences répétées. D’abord, avec la piste noire j’ai retrouvé (en frémissant) quelques souvenirs de prépa CAPES. Connexion Pour être précis, il faut donc parler des courbes en cloche, obtenues par changement d’échelle. Pour les « branchés », on peut même acheter pour 0,79 € un petit logiciel qu’on peut télécharger sur son IPhone, pour un usage à tout moment de la journée ! Elle utilise les deux calculs de l’espérance et de l’écart-type de la série. Le sexisme de la première heure : hasard et sociologie, Cours et travaux. été fourni. J. Dhombres, Dunod 1992 (pp.125-140, particulièrement p.129 et la bibliographie p.604). E. Brian et M. Jaisson, Le sexisme de la première heure : hasard et sociologie, Cours et travaux (Paris), ISSN 1629-54544, 2007 (étude sur le sex-ratio). Puis on recense le nombre de changements, $PF$ ou $FP$ ; cela donne encore un diagramme en cloche, mais son centre est nettement décalé. Pour un échantillon important, il est généralement constatée une courbe en forme de cloche, c’est-à-dire une forte concentration des valeurs autour de la moyenne puis des valeurs de moins en moins nombreuses aux extrémités de la série. Rediffusion d’un article publié en juillet 2009. Celle-ci est une version centrée réduite d’autres courbes en cloche ayant pour équation (2) où m représente la moyenne et l’écart-type. d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a Principes de fonctionnement des tests statistiques. La théorie du mouvement brownien lui-même fait le lien entre l’équation de la chaleur et la loi de Gauss. Dans un article de 1823 [1], Gauss se proposait de démontrer qu’une courbe plane fermée de nombre d'enroulement (nombre de tours sur lui-même effectué par un observateur parcourant la courbe) possède au moins − croisements (⩾).. À l'occasion de cette démonstration, il a introduit le code qui porte son nom, défini dans le paragraphe suivant. LA COURBE DE GAUSS : D'OÙ VIENT-ELLE ? En regardant les cloches de plus près, elles sont plus resserées que les cloches correspondant à un choix au hasard. Il a fallu du temps avoir de pouvoir formaliser convenablement cette définition. Entre autres découvertes, on lui doit une constatation très simple. La réalité virtuelle dans les études : qui et pour quoi faire ? Et cela, indépendamment de la nature des multiples causes aléatoires, qui peuvent tout à fait suivre une autre loi de probabilité, comme par exemple une loi de pile ou face. Ce survol est bien incomplet. Contactez-nous : contact@surveymag.eu. Il est donc raisonnable de « s’autoriser la recherche » de la cause de l’anomalie.... Avant la lettre, Laplace pratique un test d’hypothèse, une méthode statistique classique aujourd’hui. La probabilité pour qu’une quantité aléatoire décrite par une courbe de Gauss ne s’écarte pas plus que de deux écarts types de la moyenne est de l’ordre de 95 %. La neurophysiologie dans la prédiction des comportements d'achat, Nouvelles technologies multi-sensorielles, Blockchain : usages pour le marketing et connaissance client, Analyse d'images Instagram par reconnaissance visuelle. Quelques classes de fonctions entières et le problème de Gelfand et Šilov. On la voit apparaître dans un grand nombre de situations concrètes — en statistiques et en probabilités — et on lui fait souvent dire tout et n’importe quoi. P.S. Homo economicus à Homo technologicus : Conseils de survie dans le marketing. J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, 1822. ), si on classe les individus selon une caractéristique (leur taille, leur poids, leur QI, leur niveau de compétence), on s'aperçoit que, plus on s'approche de la moyenne sur le critère considéré, et plus il y a d'individus. Par contre $30$ est divisible par les nombres premiers $2,3,5$ et $P(30)=3$. Le nombre de garçons est un peu comme si on tirait à pile ou face (il parle de « croix ou pile ») avec une pièce un peu favorable au pile (c’est-à-dire aux garçons)... Laplace peut alors calculer que la proportion constatée dans ce village se trouve à deux écarts-types en dessous de la moyenne. Mais l’énoncé est bien plus précis que cela bien sûr. L’expérience nécessite au moins 60 personnes et au moins 36 signaux. P.S. Simplement, il pesait le pain avant de le livrer au mathématicien procédurier et si ce choix pesait moins d’un kilogramme, il en choisissait un autre jusqu’à ce qu’il trouve un pain auquel le mathématicien n’aurait rien à reprocher. Lorsqu’on lance un grand nombre de billes, la distribution des billes sur la base s’approche d’une cloche, qui a exactement la même forme que la précédente... Bien sûr, ce n’est pas vraiment la même cloche : celle de la taille des enfants est peut-être centrée sur $1,20$ m et elle est peut-être relativement pointue, par exemple peut-être que 95% des enfants considérés mesurent entre $1,10$ m et $1,30$ m. Pour chaque entier naturel $n$, notons $P(n)$ le nombre de nombres premiers distincts qui divisent $n$. Le second exemple est une histoire inventée, mettant en scène un mathématicien des années 1900 et son boulanger, qui lui livre tous les jours un pain qui pèse en principe deux livres. Par exemple, $2,3,5,7$ ou $999853$ sont premiers. La courbe de Gauss est connue aussi sous le nom de « courbe en cloche » ou encore de « courbe de la loi normale ». L’interprétation est aisée : nous sommes guidés par la mémoire, qui enregistre à notre insu l’écart entre les nombres de $P$ et de $F$ déja écrits. On imagine une droite qui conduit la chaleur et on étudie la manière dont la température évolue en fonction du temps. Lorsque $\sigma$ est petit, la cloche est pointue. Dans une population donnée (les salariés d'une entreprise, des haricots dans un sac, etc. Lorsqu’on calcule la probabilité d’être à une distance supérieure à $2,39$ écarts types, on trouve $0,0168$. Le calcul de Laplace revient à ceci. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire. Cet intervalle de confiance de deux écarts types est ce que les physiciens appellent « l’incertitude de la mesure ». Et pourtant, les nombres premiers semblent bien avoir un comportement aléatoire. On jette la pièce $n$ fois et on compte le nombre de fois où on « tombe sur pile ». Et en même temps nous ne savons rien. Merci en particulier à Jos Leys pour les figures et les animations. Supposez que vous connaissiez la position initiale de la particule et que vous cherchiez à connaître sa position au bout d’un temps $t$. Elle présente une bosse et est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Offre limitée - 2 mois pour 1€, sans engagement, Coronavirus : les entreprises s'adaptent face à la crise. Où l’on continue à parler de la Lune et du même génie toscan, mais aussi de courbes et de reliefs aléatoires, de dimension fractale, et même de percolation. Malins ces mathématiciens ;-). En général, on interprète y comme une densité de probabilité. Accordons-nous le plaisir de lire Laplace : Mais dans la commune de Carcelle le Grignon, en Bourgogne, la situation est inversée et il y a plus de naissances de filles que de garçons. [2] comme le fameux fût du canon de Fernand Raynaud... [3] (voir Le mouvement brownien et son histoire, réponses à quelques questions), Jean-Pierre Kahane Une cloche se caractérise donc par la position de son sommet et par un coefficient de dispersion qu’on appelle en statistiques l’écart type et qu’on note d’habitude par la lettre grecque $\sigma$ (lire sigma). La mesure de la culture client à partir des neurosciences, Les nouveaux horizons de l'intelligence marketing, Du bon usage de la data dans le marketing et les études, La Data révolution bouscule le marketing, Période Covid-19 : défis et évolution du secteur des études. Il faudra choisir les colonnes E et F et choisir le type de graphique : "Nuage de points avec courbe lissée". > Application : La courbe de Gauss est bien pratique pour représenter la réalité d'un marché. I.M. On voit bien que lorsque $n$ est grand, le diagramme est proche de la cloche. Théorie analytique des probabilités, introduction, Pile ou Face, une introduction aux théorèmes limites du calcul des Probabilités, Le mouvement brownien et son histoire, réponses à quelques questions. LA COURBE DE GAUSS : D'OÙ VIENT-ELLE ? Tout ce que vous pouvez dire s’exprime en termes de probabilités bien sûr : il se trouve que la distribution sera une cloche centrée sur le point de départ et dont l’écart-type est égal à la racine carrée de $t$ : plus on attend et plus la particule peut s’éloigner du point de départ. Laplace, Ecole normale de l’an III, Leçons de mathématiques, ed. C’est pour cette raison qu’on rencontre ces cloches un peu partout. Les spécialistes de la théorie des probabilités l’interprètent comme une densité de probabilité. Le résultat est une courbe de Gauss centrée sur la valeur de 20 avec un écart-type de 4. Si vous avez aimé cet article, voici quelques suggestions automatiques qui pourraient vous intéresser : Professeur à l’Université Paris Sud, Orsay, membre de l’Académie des Sciences, Jean-Pierre Kahane est décédé le 21 juin 2017. La représentation graphique de cette réalité s'appelle une courbe de Gauss et prend la forme d'une cloche.> Application : La courbe de Gauss est bien pratique pour représenter la réalité d'un marché. Parce qu’une courbe en chapeau de Les expériences répétées LA COURBE DE GAUSS : D'OÙ VIENT-ELLE ? Cette interprétation est fondamentale dans tous les problèmes de diffusion, et une nouvelle interprétation de la courbe en cloche est donnée par le mouvement brownien [3] : Tout entier est le produit d’un certain nombre de nombres premiers. Tous les jours le mathématicien enregistre devant témoins le poids du pain livré. Présidentielle américaine : les États-Unis restent les... Présidentielle 2022 : Bruno Retailleau, se radicaliser... Partout en Europe, les révoltés du confinement, Quand la viande artificielle s'invite à table. Il se trouve que la forme de ce diagramme ressemblera beaucoup à la courbe en cloche ci-dessus. Survey-Magazine vous apporte un approfondissement unique sur les techniques et les méthodologies de collecte et d'analyse de données. Panorama des méthodes d’analyse mutivariée, Objectifs d’utilisation de la méthode Tétraclasse. Toute variable aléatoire de densité la fonction représentée par cette courbe est distribuée selon la loi normale centrée réduite. On peut aussi penser que, comme dans les cloches, le diagramme présente une seule bosse. Elle permet de représenter graphiquement la distribution d’une série et en particulier la densité de mesures d’une série. Ce sera la conclusion de cet article. États-Unis: la voie étroite de Joe Biden pour réconcilier... L'énorme bataille à venir pour le vote des minorités. E. Lesigne, Pile ou Face, une introduction aux théorèmes limites du calcul des Probabilités, Ellipse 2001. Ce théorème relatif au jeu de pile ou face — donc a priori d’usage limité — peut être généralisé de manière étonnante. Donc le boulanger n’a pas modifié sa production. Peu de temps après Laplace, Fourier avait montré que la courbe en cloche donne une solution de l’équation de la chaleur. Dès qu’un phénomène est la superposition d’un grand nombre de causes aléatoires indépendantes [1], une cloche se présente (à la limite) ! L’équation de la chaleur exprime cela de manière quantitative. On sait depuis longtemps que les nombres premiers, bien qu’en nombre infini, sont de plus en plus rares quand on les cherche de grande taille. Sur l’axe horizontal, on décompose en intervalles de tailles — disons d’un centimètre de large — et au dessus de chaque intervalle, on place un bâton vertical dont la hauteur indique le nombre d’enfants qui ont une taille dans cet intervalle. La conjecture des nombres premiers jumeaux, Les activités d’Animath à l’international. Né en 1777 dans le duché de Brunswick (Allemagne), Carl Friedrich Gauss fut un véritable génie des mathématiques. Le mathématicien intente procès pour production frauduleuse et gagne encore : l’enregistrement montre une distribution des poids des pains livrés suivant la queue à partir de $1000$ de la gaussienne précédente, centrée en $980$ et d’écart-type $20$ (la zone bleue sur la figure suivante). D’une certaine façon, les chocs moléculaires associés à la chaleur se font de manière aléatoire au niveau microscopique et ils sont responsables de la diffusion thermique. Voici un exemple de théorème, démontré par Erdös et Kac, qui montre encore une fois l’apparition d’une cloche de Gauss dans un endroit pour le moins surprenant. On la voit apparaître dans un grand nombre de situations concrètes — en statistiques et... Colloque Wright « L’Art des maths » (2-6/11), Forum Emploi mathématiques (virtuel, 22/10), Fête de la science, exposés (Strasbourg, 5-10/10), En piste pour les mathématiques ! Mais ce que nous allons expliquer va bien plus loin que cela : ce diagramme en bâtons est très bien décrit quantitativement par la courbe en cloche. Quelle est la cause proposée par Laplace ? "L’étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. Le théorème affirme que la distribution de $P(n)$ lorsqu’on se limite aux entiers inférieurs à une certaine valeur $N$ tend vers une courbe en cloche dont on peut calculer explicitement la moyenne (c’est le logarithme du logarithme de $N$) et l’écart type (c’est la racine carrée du logarithme du logarithme de $N$). On trouve sur internet des tables numériques qui permettent de calculer la probabilité de s’éloigner de plus de $x$ écarts types de la moyenne. Il s’agit de l’un des exemples les plus frappants de phénomènes d’universalité en mathématiques : en ajoutant un grand nombre d’aléas dont on ne sait rien, la distribution limite de la somme est une courbe en cloche de Gauss. Les aires délimitées par ces courbes et l’axe des abscisses sont toutes les mêmes et sont égales à 1. Regardez ce petit film : il montre ces diagrammes pour diverses valeurs de $n$. Confinement : comment prendre soin de soi ? Faut-il avoir peur des maths financières ? Sous sa forme la plus générale, le théorème central dit que, sous certaines conditions, la distribution d’une somme de quantités aléatoires indépendantes, tend vers une courbe en cloche. Le premier exemple est de grand intérêt historique et méthodologique. Gelfand, G.E.Šilov, Fonctions généralisées, Editions Mir, Moscou 1958. En fait on peut même estimer la probabilité que le boulanger ne soit pas un escroc à $10^{-22}$ : quasiment impossible ! Votre adresse e-mail nous permettra de vous envoyer les newsletters auxquelles vous vous êtes inscrit. Imaginons par exemple qu’on mesure la taille de tous les garçons d’une même tranche d’âge dans notre pays, et qu’on représente les résultats par un diagramme. Plus on s'en éloigne, et moins il y en a. Aux deux extrémités, il n'y a presque personne. Pour exercer vos droits, consultez notre Politique de données personnelles. Il est exposé par Laplace dans son introduction à la Théorie analytique des probabilités. Regardez cette simulation de la planche de Galton : une bille tombe et elle est soumise à des chocs aléatoires. Est-ce une anomalie ? Mathématiques et sciences humaines n°173, 3 (2006), 5-23. Et vous, exploitez-vous les données issues du web ? COMPARATIF SMARTPHONE avec Meilleurmobile, GUIDE DEFISCALISATION avec L'Express Votre Argent. Le calcul permet alors de montrer qu’on peut être presque sûr que le boulanger est un escroc et que ses pains ne font pas $1$ kg en moyenne, comme il le prétend. La recherche mathématique en mots et en images. Il y a fort à parier que ces 20 %-là sont justement les "extrémistes" de la courbe de Gauss... Pour ne rien manquer de l'actualité économique et financière. Le troisième exemple est une expérience que j’ai faite à quelques reprises au cours des années 1970, et qu’il pourrait être intéressant de refaire aujourd’hui. Il n’est pas étonnant que parmi plusieurs centaines de villes étudiées, un tel écart à la moyenne se présente de temps à autre, et pourquoi pas à Carcelle le Grignon ? L’année suivante, le boulanger ne lui livre que des pains pesant plus d’un kilogramme. Faut--il pour autant se désintéresser de leur sort au prétexte qu'elles sont peu nombreuses ? Plus est petit, plus la cloche est pointue. Ceci permet de faire des prédictions sur les valeurs numériques de ces distributions. La courbe de Gauss apparaît comme densité de probabilité. Insistons : il ne s’agit pas de dire des choses qualitatives sur le diagramme, comme le fait qu’il a une bosse par exemple, mais il s’agit au contraire de l’affirmation que le diagramme sera extrêmement bien approché par l’une des cloches que nous avons décrites et qui ont une équation précise. Surtout, il ne s’agit pas de constater une telle anomalie dans un quelconque village de France (il y en a beaucoup) mais à Paris, qui est une ville unique ! Par contre $30$ est le produit de $2$,$3$ et $5$ et n’est donc pas premier. Il constate que pour $43$ naissances, il y a $22$ garçons et $21$ filles. Evidemment, on peut penser que notre diagramme aura « en gros » la forme d’une cloche : il y a une valeur moyenne pour la taille de ces enfants — certains sont plus grands, d’autres plus petits — et une bonne proportion ont une taille qui ne s’éloigne pas trop de la moyenne. Continuons la lecture. Un événement trois fois moins probable que le précédent. Le théorème affirme que le diagramme représentant les probabilités de tomber sur $k$ fois pile dans un jeu de $n$ lancers s’approche d’une cloche lorsque le nombre $n$ de lancers tend vers l’infini. Historiquement, avec de Moivre (1728) et Laplace (1786), c’est le jeu de pile ou face qui a conduit à la courbe en cloche. Sur le marché de la chaussure, les clientes qui chaussent du 35 ou du 43 vont, par exemple, se retrouver placées en dehors de la cloche, à chacune des extrémités de la courbe. C’est là un théorème central de passage à la limite en probabilités (« der zentrale Grenzwertsatz des Wahrscheinlichkeitsrechnung » ; et cette expression de Pólya (1930) est devenue bizarrement en anglais « Zentral Limit Theorem » et en français, Théorème limite central, ou central limite, ou de la limite centrale, (Wikipédia s’en amuse)). La forme primitive de cet article s’est considérablement enrichie grâce à l’aide de la rédaction de Images des Mathématiques et à la suite de commentaires de lecteurs. La courbe en cloche ou courbe de Gauss est l’une des courbes mathématiques les plus célèbres. [1] L’indépendance est l’un des concepts difficiles de la théorie des probabilités : deux quantité aléatoires sont dites indépendantes si la connaissance de la valeur de l’une n’apporte aucune information sur la valeur de l’autre.

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