courbure de gauss et courbure moyenne

Ce plan intersecte la surface considérée en une courbe. λ C'est Gauss célèbre s de Theorema egregium , qu'il trouva en cause des enquêtes géographiques et la cartographie. La courbure κ est donc, Celles-ci peuvent être exprimées sans coordonnées comme, Ces formules peuvent être dérivées du cas particulier de la paramétrisation de la longueur de l'arc de la manière suivante. On sait maintenant que la courbure perturbe le parallélisme. Pour les variétés riemanniennes (de dimension au moins deux) qui ne sont pas nécessairement noyées dans un espace euclidien, on peut définir la courbure intrinsèquement , c'est-à-dire sans se référer à un espace extérieur. Function: view, File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/index.php f Line: 68 Cela signifie également que d T / dθ (pour changer θ en radian ) a une longueur de 1. ∂ 3 0 obj << F {\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}\wedge {\frac {\partial P}{\partial y}}} un paramétrage de la surface, supposée régulière. Si les fourmis développaient une maîtrise de la géométrie, elles pourraient se convaincre sans mal qu’elles vivent sur un espace euclidien, parfaitement plat ! M Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire. (ou encore Km, ou parfois H). Comme F y = –1 , et F yy = F xy = 0 , on obtient exactement la même valeur pour la courbure (non signée). Une base du plan tangent est donnée par À partir de ces deux courbures, plusieurs notions de courbure totale peuvent être définies ; les plus importantes sont la courbure de Gauss et la courbure moyenne. Toute variable aléatoire de densité la fonction représentée par cette ... suite des moyennes centrées, réduites de variables aléatoires indépendantes tend vers la loi normale centrée réduite. ( Function: view, File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/controllers/Main.php M d La courbure d'une courbe en un point est normalement une grandeur scalaire , c'est-à-dire qu'elle est exprimée par un seul nombre réel . https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Courbure_moyenne&oldid=165831773, Article contenant un appel à traduction en anglais, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. {\displaystyle \gamma } u → x Un exemple d'espace incurvé négativement est la géométrie hyperbolique . {\displaystyle {\vec {y}}} d /Length 2288 La courbure d'une courbe peut naturellement être considérée comme une grandeur cinématique, représentant la force ressentie par un certain observateur se déplaçant le long de la courbe; de même, la courbure dans des dimensions plus élevées peut être considérée comme une sorte de force de marée (c'est une façon de penser la courbure sectionnelle ). Une paramétrisation courante d'un cercle de rayon r est γ ( t ) = ( r cos t , r sin t ) . ) , Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. − Il a le signe a pour toutes les valeurs de x . ) Un point de la courbe où F x = F y = 0 est un point singulier , ce qui signifie que la courbe n'est pas différentiable en ce point, et donc que la courbure n'est pas définie (le plus souvent, le point est soit un point de croisement, soit une cuspide ). Ancien étudiant de Lyon 1 (M1 Mathématiques, M2 Histoire Philosophie et Didactique des Sciences). ′ Certaines notions géométriques semblent très intuitives. → vaut[1] : Soit Elle est notée (ou encore K m, ou parfois H).C'est un nombre réel, dont le signe dépend du choix fait pour orienter la surface.. S'il est relativement simple de définir le rayon de courbure d'une courbe plane, pour une surface les choses se compliquent. Le plan contenant les deux vecteurs T ( s ) et N ( s ) est le plan osculateur de la courbe à γ ( s ) . ∂ où les nombres premiers se réfèrent aux dérivées par rapport à la longueur d'arc s , et N ( s ) est le vecteur unitaire normal dans la direction de T ′ (s) . Comme les courbes planes ont une torsion nulle , la deuxième formule Frenet – Serret fournit la relation, Pour une paramétrisation générale par un paramètre t , il faut des expressions impliquant des dérivées par rapport à t . La courbure intrinsèque et extrinsèque d'une surface peut être combinée sous la deuxième forme fondamentale. ( . De plus, une telle surface, de courbure moyenne constante, est nécessairement une sphère (Liebmann 1899). Une valeur de courbure signée aurait d'abord besoin d'une définition de "+/-", par exemple comme "tourner à gauche / droite", ou comme "intérieur / extérieur" dans une courbe fermée. '� �P�!2����TY� E�'�M(� → C'est, et le centre de courbure est sur la normale à la courbe, le centre de courbure est le point, Si N ( s ) est le vecteur normal unitaire obtenu à partir de T ( s ) par une rotation antihoraire deπ/2, puis. Si la surface était plate, la fourmi trouverait C ( r ) = 2π r . où la limite est prise comme le point Q se rapproche P sur C . La demi-somme des deux courbures principales est appelée courbure moyenne et sert à caractériser les surfaces minimales (surfaces de courbure moyenne nulle). Formellement, la courbure gaussienne ne dépend que de la métrique riemannienne de la surface. Un vecteur normal à la surface est donné par le vecteur unitaire n→{\displaystyle {\vec {n}}} colinéaire à ∂P∂x∧∂P∂y{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}\wedge {\frac {\partial P}{\partial y}}}, à savoir : Pour calculer la courbure, on utilise le fait qu'elle est égale à la demi-trace de l'endomorphisme de Weingarten, et que cet endomorphisme est celui qui envoie ∂P∂x{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}} sur −∂n→∂x{\displaystyle -{\frac {\partial {\vec {n}}}{\partial x}}}, et ∂P∂y{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}} sur −∂n→∂y{\displaystyle -{\frac {\partial {\vec {n}}}{\partial y}}}. , on a donc : et donc, la matrice qui n'est autre que la courbure moyenne cherchée. La courbure est intrinsèque en ce sens qu'il s'agit d'une propriété définie en chaque point de l'espace, plutôt que d'une propriété définie par rapport à un espace plus grand qui le contient. Cette surface est plate ! — «Visualiser la courbure» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020. avec k ( s ) = ± κ ( s ) . La différence définit le tenseur de Riemann selon les directions $\vec a$ et $\vec b$ appliqué au vecteur $\vec v$. Les expériences répétées Mais cette ellipse est déformée par l’aplatissement du soleil (facteur presque négligeable ceci dit) et l’influence des autres planètes (de loin le facteur le plus important). Étant donné que la courbure (gaussienne) peut être définie sans référence à un espace d'enrobage, il n'est pas nécessaire qu'une surface soit intégrée dans un espace de plus grande dimension pour être courbée. 2 stream Ces rayons définissent des courbures (inverse du rayon) maximale et minimale (en tenant compte du signe, c’est-à-dire de l’orientation par rapport au vecteur normal). Soient = Function: _error_handler, File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/page/index.php Mais cela ne suffit pas au mathématicien, et en voici deux raisons : Pour s’en convaincre, il ne faut pas voir le cylindre comme un objet qui roule si on le pose sur une table. Autrement dit, la courbure est. x Il décrit la dépendance (locale) des déviations de vecteurs aux chemins parcourus. La courbure est l' inverse du rayon de courbure. v Prenons un point de l’espace dont nous essayons de déterminer la courbure, et coupons des « tranches » de cet espace passant par ce point, dans toutes les directions. Il tourne autour de P alors que le fil est complètement étiré et mesure la longueur C ( r ) d'un voyage complet autour P . On peut comparer les aires et les volumes par rapport à un espace plat en faisant intervenir cette notion de courbure. x = est un vecteur propre de l'endomorphisme de Weingarten, de valeur propre en sciences, il est fréquent de considérer que les valeurs se répartissent selon une courbe de gauss. y Nous pouvons imaginer un espace courbe où les « longueurs » sont dilatées dans une direction, et contractées dans les deux autres directions de sorte qu’une boule ait la forme d’un ovoïde [4] de volume $\frac 43\pi r^3$ également : Nous rencontrons le même problème si l’on compare les aires. En particulier, une surface minimale telle qu'un film de savon a une courbure moyenne nulle et une bulle de savon a une courbure moyenne constante. En rouge l’orbite elliptique idéale, en bleu l’orbite en précession (très exagérée pour les besoins de la visualisation). Pour être significative, la définition de la courbure et ses différentes caractérisations nécessitent que la courbe soit continuellement dérivable près de P , pour avoir une tangente qui varie continuellement; il faut aussi que la courbe soit deux fois dérivable en P , pour assurer l'existence des limites impliquées, et de la dérivée de T ( s ) . n + en permutant les indices x et y. L'endomorphisme de Weingarten a donc pour matrice, dans la base ∂ Les expériences répétées. La courbure de C en P est donnée par la limite. {\displaystyle (x,y)\to P(x,y,z)={\begin{pmatrix}x\\y\\f(x,y)\end{pmatrix}}} ∂ Par conséquent, si y → {\displaystyle {\vec {y}}} est un vecteur propre de l'endomorphisme de Weingarten, de valeur propre λ {\displaystyle \lambda } , on, a, pour tout x → {\displaystyle {\vec {x}}}  : Cette relation étant vraie pour tout x → {\displaystyle {\vec {x}}} , on a donc : et donc, la matrice ( L M M N ) − λ ( E F F G ) = ( L − λ E M − λ F M − λ F N − λ G ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}-\lambda {\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}L-\lambda E&M-\lambda F\\M-\lambda F&N-\lambda G\end{pmatrix}}} est non inversible, puisqu'elle admet la colonne Y non nulle comme élément de son noyau. Diverses généralisations capturent sous une forme abstraite cette idée de courbure comme mesure de l'holonomie; voir la forme de courbure . − Pour les courbes, l'exemple canonique est celui d'un cercle , qui a une courbure égale à l' inverse de son rayon . Supposons que la surface soit donnée par une équation z=f(x,y){\displaystyle z=f(x,y)}, où f est une fonction de classe C2{\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}. De manière équivalente. Ce type d’espace est appelé Ricci plat (mais il n’est pas plat, il est bien courbe !). ( Habitués que nous sommes à notre expérience sensorielle, les représentations visuelles nous guident parfois habilement dans la compréhension de concepts géométriques. Supposons que nous tirions des échantillons aléatoires d'une population dont la taille moyenne est de 170 cm, avec un écart type de 10 cm. Il ne doit pas être confondu avec la, Exemples: taux de variation du vecteur tangent unitaire, En termes de paramétrage de la longueur d'arc, Formules de Frenet – Serret pour les courbes planes, Courbure à partir de l'arc et de la longueur de corde, Courbure de l'arc et de la longueur de corde, Principe de la moindre contrainte de Gauss, Créez vos propres illustrations animées de cadres et de courbures Frenet – Serret en mouvement, licence Creative Commons Attribution-ShareAlike, Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License, Courbure constante κ (s) = 0 rad / xm (la longueur n'a pas d'importance) = 0 rad / m = 0 deg / m, La courbure κ (s) en tout point s est comprise entre ces 2 valeurs (, Cette page a été modifiée pour la dernière fois le 11 novembre 2020 à 14:58, This page is based on the copyrighted Wikipedia article. Soit une surface paramétrée au moyen de deux paramètres u et v, et soit I=Edu2+2Fdudv+Gdv2{\displaystyle \mathrm {I} =E\mathrm {d} u^{2}+2F\mathrm {d} u\mathrm {d} v+G\mathrm {d} v^{2}} la première forme fondamentale, II=Ldu2+2Mdudv+Ndv2{\displaystyle \mathrm {II} =L\mathrm {d} u^{2}+2M\mathrm {d} u\mathrm {d} v+N\mathrm {d} v^{2}} la seconde forme fondamentale. La courbure moyenne est définie comme la moyenne des deux courbures principales, soit. Allons un peu plus loin avec un exemple plus complexe et encore plus fascinant : le tore carré plat. Il existe cependant d'autres exemples de géométries plates dans les deux contextes. → ∂ Les courbures principales sont les valeurs propres de l'opérateur de forme, les directions principales de courbure sont ses vecteurs propres , la courbure de Gauss est son déterminant et la courbure moyenne est la moitié de sa trace . Plus précisément, en utilisant la grosse notation O , on a. Il est courant en physique et en ingénierie d'approximer la courbure avec la deuxième dérivée, par exemple, dans la théorie des faisceaux ou pour dériver l'équation d'onde d'une corde tendue, et d'autres applications où de petites pentes sont impliquées. Une base du plan tangent est donnée par les deux vecteurs ( v Beaucoup de ces généralisations mettent l'accent sur différents aspects de la courbure telle qu'elle est comprise dans les dimensions inférieures. d L'expression de la courbure En termes de paramétrage de la longueur d'arc est essentiellement la première formule de Frenet – Serret. Il permet donc de définir une infinité de rayons de courbure. y , et En mathématiques, on appelle courbure moyenne d'une surface la moyenne des courbures minimale et maximale. Les cercles plus petits se courbent plus fortement et ont donc une courbure plus élevée. {\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}} ∂ . Les courbures principales sont donc les courbures, au point considéré, des deux courbes rouges intersections de ces plans et de la surface. Intuitivement, la courbure est la quantité par laquelle une courbe s'écarte d'être une ligne droite , ou une surface s'écarte d'être un plan . x On définit alors un analogue comme suit : en un point, on définit un axe, le vecteur normal à la surface. Heinz Hopf montra en 1950 qu'une surface de courbure moyenne constante et homéomorphe à une sphère en est une ; enfin, en 1955, Alexandrov montra qu'on pouvait se passer de … En mathématiques, on appelle courbure moyenne d'une surface la moyenne des courbures minimale et maximale. , u Chaque courbe différenciable peut être paramétrée en fonction de la longueur de l'arc . y Techniquement, une « tranche » est en fait la surface générée par toutes les géodésiques dont les vecteurs tangents au point considéré appartiennent à un même plan de l’espace tangent... [4] Attention : même si la boule déformée ressemble à un ovoïde, c’est uniquement car nous l’avons dessinée dans un espace euclidien... Il s’agit bel et bien d’une boule mais dans un espace courbe, c’est pourquoi nous pouvons comparer les volumes ou les aires, cela ne contredira pas le théorème isopérimétrique. Notons en indice les variables par rapport auxquelles les dérivées sont calculées. N Une autre généralisation large de la courbure provient de l'étude du transport parallèle sur une surface. Voir aussi la forme de l'univers . Si nous utilisons des nombres premiers pour les dérivées par rapport au paramètre t . S'il est positif, le graphique a une concavité vers le haut et, s'il est négatif, le graphique a une concavité vers le bas. ) La courbure d'une courbe différentiable était à l'origine définie par des cercles osculateurs . L’approche ne sera donc pas très rigoureuse, mais volontairement visuelle. u ∂ P Cet objet représente dans notre espace tridimensionnel familier l’espace dans lequel vit Pac-Man, un être à deux dimensions en forme de camembert (entamé) dans l’un des jeux vidéo les plus célèbres. u Alors la courbure moyenne vaut[2] : Soit ( u , v ) → P ( u , v ) {\displaystyle (u,v)\to P(u,v)} un paramétrage de la surface, supposée régulière. Nicole Oresme introduit le concept de courbure comme mesure de l'écart par rapport à la rectitude, pour les cercles, il a la courbure comme étant inversement proportionnelle au rayon et tente de l'étendre à d'autres courbes comme une grandeur variant continuellement. ) − ∂ {\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}={\begin{pmatrix}0\\1\\f_{y}'\end{pmatrix}}} Courbure de l'espace. {\displaystyle \left(-{\frac {\partial P}{\partial x}},-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)} « La géométrie est la science des raisonnements corrects sur des figures incorrectes », Sans vous en rendre compte, vous appliquez parfois le Théorème Remarquable... Dans cet article, nous faisons connaissance avec le théorème de Cartan-Hadamard. La conjecture des nombres premiers jumeaux, Les activités d’Animath à l’international. C ) le paramétrage de la surface, supposée régulière. ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. En utilisant la formule ci-dessus et la règle de la chaîne, ce dérivé et sa norme peuvent être exprimés en termes de γ ′ et γ ″ uniquement, avec le paramètre de longueur d'arc s complètement éliminé, donnant les formules ci-dessus pour la courbure. y En utilisant la notation de la section précédente et la règle de la chaîne , on a, et donc, en prenant la norme des deux côtés. Plus précisément, étant donné un point P sur une courbe, chaque autre point Q de la courbe définit un cercle (ou parfois une ligne) passant par Q et tangente à la courbe au P . Alors la courbure moyenne vaut[2] : Soit (u,v)→P(u,v){\displaystyle (u,v)\to P(u,v)} un paramétrage de la surface, supposée régulière. M P a une norme égale à un et est donc un vecteur tangent unitaire . Si Pac-Man traverse le bord droit de l’écran, il réapparaît sur le bord gauche, et de même du bord bas au bord haut. v Alors, la courbure moyenne au point de paramètre ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} vaut[1] : Soit ( x , y ) → P ( x , y , z ) = ( x y f ( x , y ) ) {\displaystyle (x,y)\to P(x,y,z)={\begin{pmatrix}x\\y\\f(x,y)\end{pmatrix}}} le paramétrage de la surface, supposée régulière. {\displaystyle {\vec {x}}} L’exemple le plus simple est celui du cylindre : Imaginez un circuit de moto sur un terrain parfaitement plat, parcouru à une vitesse constante. − Dans chacune de ces tranches, nous pouvons mesurer la courbure de Gauss . La notion de courbure moyenne a été définie par Sophie Germain lors de son étude des vibrations d'une membrane. Il est bien connu que l’orbite d’une planète autour du soleil prend la forme d’une ellipse. Qu’est-ce que la courbure ? En mathématiques, on appelle courbure moyenne d'une surface la moyenne des courbures minimale et maximale. , où f est une fonction de classe Plus précisément, supposons que le point se déplace sur la courbe à une vitesse constante d'une unité, c'est-à-dire que la position du point P ( s ) est fonction du paramètre s , qui peut être pensé comme le temps ou comme le longueur d'arc à partir d'une origine donnée. La notion de courbure moyenne a été définie par Sophie Germain lors de son étude des vibrations d'une membrane. été fourni. Le cercle osculateur est la limite , si elle existe, de ce cercle lorsque Q tend à P . | mot de passe oublié ? Est-ce suffisant pour déterminer un espace courbe ? Faut-il avoir peur des maths financières ? La courbure peut être évaluée le long des sections normales de surface , similaire aux § Courbes sur les surfaces ci-dessus (voir par exemple le rayon de courbure de la Terre ). Cela peut être exprimé indépendamment du système de coordonnées au moyen de la formule. Johann Colombano y = Le graphe d'une fonction y = f ( x ) , est un cas particulier d'une courbe paramétrée, de la forme, Comme les première et seconde dérivées de x sont 1 et 0, les formules précédentes se simplifient en. Une base du plan tangent est donnée par ∂Pdu{\displaystyle {\frac {\partial P}{du}}} et ∂Pdv{\displaystyle {\frac {\partial P}{dv}}}. Il permet donc de définir une infinité de rayons de courbure. Il est à ne pas confondre avec Courbure de l' espace-temps. On imagine ensuite un plan tournant sur cet axe. Comparons deux vecteurs tangents déplacés selon des chemins différents : C'est un nombre réel, dont le signe dépend du choix fait pour orienter la surface. ( . La courbure gaussienne , du nom de Carl Friedrich Gauss , est égale au produit des courbures principales, k 1 k 2 . F Soient x → {\displaystyle {\vec {x}}} et y → {\displaystyle {\vec {y}}} deux vecteurs du plan tangent en un point de la surface, et soit X et Y les composantes de ces deux vecteurs dans la base précédente. et Alors la courbure moyenne vaut[2] : Soit Difficile à croire ? G Si la courbe est deux fois différentiable, c'est-à-dire si les dérivées secondes de x et y existent, alors la dérivée de T ( s ) existe. λ n ) Ce phénomène est connu sous le nom d' holonomie . et la courbure est la magnitude de l'accélération: La direction de l'accélération est le vecteur normal unitaire N ( s ) , qui est défini par. {\displaystyle (u,v)\to P(u,v)} f En mesurant non pas le volume total, mais le volume d’une section de la boule [5], nous pouvons alors éliminer le contre-exemple précédent, puisqu’il permettra de différencier deux boules de même volume si l’une est déformée (les sections n’auront pas le même volume). La substitution dans la formule des paramétrisations générales donne exactement le même résultat que ci-dessus, avec x remplacé par t . La courbure normale , k n , est la courbure de la courbe projetée sur le plan contenant la tangente de la courbe T et la normale de surface u ; la courbure géodésique , k g , est la courbure de la courbe projetée sur le plan tangent de la surface; et la torsion géodésique (ou torsion relative ), τ r , mesure le taux de changement de la normale de surface autour de la tangente de la courbe. On les appelle les courbures principales, et les plans contenant ces courbures sont représentés ci-contre. Line: 24 ��v���wB9��϶$� 1��F�l��|MF. Ils sont particulièrement importants en théorie de la relativité, où ils apparaissent tous les deux du côté des équations de champ d' Einstein qui représentent la géométrie de l'espace-temps (dont l'autre côté représente la présence de matière et d'énergie). Sur une surface courbe, la notion de parallélisme telle qu’on la connait en géométrie euclidienne devient locale. E ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}} La courbe de Gauss apparaît comme densité de probabilité. supposons que nous tirions des échantillons aléatoires d’une population dont la taille moyenne est de cm, avec un écart type de cm. Cette différence (dans une limite appropriée) est mesurée par la courbure scalaire. La courbure moyenne est définie comme la moyenne des deux courbures principales, soit. Cela conduit aux concepts de courbure maximale , la courbure minimale et la courbure moyenne . Si vous avez aimé cet article, voici quelques suggestions automatiques qui pourraient vous intéresser : La recherche mathématique en mots et en images. y Avec une telle paramétrisation, la courbure signée est, où les nombres premiers se réfèrent aux dérivées par rapport à t . Considérons la parabole y = ax 2 + bx + c . Un espace ou un espace-temps sans courbure est appelé plat . ∧ Le signe de la courbure signée est le même que le signe de la dérivée seconde de f .

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